+
علم

دليل هندسي جديد لنظرية فيرما

دليل هندسي جديد لنظرية فيرما

في العام الماضي (2016) ، في مقالة هندسية مثيرة للاهتمام بعنوان "ثورة في نظرية فيثاغورس؟" ، قدم الدكتور لويس تيا دليلًا على نظرية فيثاغورس بشكل ثلاثي الأبعاد. هذا العام ، يشرح تيا في بحثه الأخير (فبراير 2017) الذي راجعه النظراء ، بعنوان نظرية فيرما - نظرة هندسية نُشر في مجلة أبحاث الرياضيات ، كيف قدم هذا الفهم ثلاثي الأبعاد لنظرية فيثاغورس الأساس الهندسي لإثبات نظرية فيرما الأخيرة. نظرية فيرما الأخيرة ، والمعروفة أيضًا باسم حدسية فيرما ، هي أكثر من مجرد ثلاثيات ، إنها تتعلق بالطبيعة الأساسية لعدد صحيح ، ومعناها الرياضي والهندسي. يثير السؤال الفلسفي: ما هي الوحدة؟ في لغة الرياضيات ، تُعرَّف الوحدة بالرقم 1. في لغة الهندسة ، تُعرَّف الوحدة بواسطة عنصر طول ضلع واحد. يعتمد منظور المشكلة على اللغة التي نستخدمها لملاحظتها ، وغالبًا ما يكون التغيير في المنظور هو كل ما يتطلبه الأمر لرؤية الحل.

ما هي نظرية فيرما؟

لا تتساءل نظرية فيرما الأخيرة عن الماهية الثلاثية فحسب ، ولكن الأهم من ذلك ، ما هو العدد الصحيح في سياق المعادلات من النوع Xن + صن = Zن. توضح الصورة أدناه بطريقة تصويرية الفرق بين نظرية فيثاغورس ونظرية فيرما الأخيرة. يتم الخلط في بعض الأحيان بين هذين. نظرية فيرما الأخيرة هي تخمين رياضي حول الأعداد الصحيحة ، بينما نظرية فيثاغورس ثلاثية الأبعاد هي برهان رياضي وهندسي حول الأعداد الحقيقية. نظرية فيثاغورس في 1D هي مبدأ الجمع (أي X + Y = Z). في ذلك ، تشكل جميع الأعداد الصحيحة ثلاثيات [على سبيل المثال ، 1 + 2 = 3 تشكل ثلاثية الأبعاد 1 (1،2،3) بينما 3 + 4 = 7 أشكال (3،4،7)]. في المنتصف توجد نظرية فيثاغورس المعروفة في 2D ، حيث تشكل بعض الأعداد الصحيحة ثلاثة أضعاف [على سبيل المثال ، 32+42=52 تشكل الثلاثيات ثنائية الأبعاد (3 ، 4 ، 5)]. تنص نظرية فيرما الأخيرة على أنه لا يمكن العثور على ثلاثيات لنظرية فيثاغورس ثلاثية الأبعاد ، أو لأي بُعد أعلى.

نظرية فيثاغورس في 1D و 2 D و 3D و Fermat’s Last Theorem [مصدر الصورة:تيا]

نظرية فيثاغورس ثلاثية الأبعاد

تخضع نظرية فيثاغورس في 1D للخطوط ، بينما في 2D بواسطة المربعات (انظر الصورة أدناه). تمامًا مثل المربعات التي تظهر بشكل طبيعي عند تحويل نظرية فيثاغورس من 1D إلى 2D ، تظهر أيضًا الثماني الأضلاع بشكل طبيعي عند تحويل نظرية فيثاغورس من ثنائي الأبعاد إلى ثلاثي الأبعاد. كما أوضح الدكتور تيا (في كتابه المنشور عام 2015) ، فإن نظرية فيثاغورس ثلاثية الأبعاد تحكمها الثماني الأشكال. لذلك ، فإن أي رقم (حقيقي أو عدد صحيح) في نظرية فيثاغورس يمكن التعبير عنه هندسيًا بخط في 1D ، ومربع في 2D وثماني وجوه في 3D. كيف يؤثر هذا المفهوم الهندسي على فهمنا للأعداد الصحيحة ، والأهم من ذلك الثلاثي؟

نظرية فيثاغورس أحادية الأبعاد وثنائية الأبعاد وثلاثية الأبعاد [مصدر الصورة:]

فرضية

فرضية هذا الدليل الجديد هي أن الثلاثي موجود فقط ، إذا كانت جميع العناصر الصحيحة داخل هذا الثلاثي موجودة أيضًا [على سبيل المثال ، 1 ، 2 ، 3 للثالث 1D (1،2،3) ، و 3 ، 4 ، 5 لـ ثنائي الأبعاد ثلاثي (3،4،5)]. في المقابل ، لا يخرج عنصر عدد صحيح إلا إذا كان يطيع شرطين: أنه يفي بنظرية فيثاغورس للبعد المعني (الشرط 1) ، ويمكن تقسيمه تمامًا بنجاح إلى مقاييس وحدة متعددة (الشرط 2). لذلك يمكن للمرء أن يفترض عدم وجود عناصر عدد صحيح إذا لم يتم استيفاء أي من الشرطين 1 أو 2. نتيجة لذلك ، إذا لم يكن العدد الصحيح موجودًا ، فلن تكون الثلاثيات المرتبطة به موجودة أيضًا.

العدد الصحيح الهندسي

الأعداد الصحيحة هي مضاعفات واضحة للوحدة. خط الوحدة ، أو خط الطول 1 ، هو العدد الهندسي الأساسي الذي يتكون من جميع العناصر الصحيحة في كون 1D فيثاغورس. وبالمثل ، فإن مربع الوحدة ، أو مربع الضلع 1 ، هو العدد الهندسي الأساسي الذي يتكون من جميع العناصر الصحيحة في كون فيثاغورس ثنائي الأبعاد. بشكل عام ، يمكن للمرء أن يستنتج أنه من أجل وجود عنصر صحيح ، يجب تقسيمه بالكامل إلى مضاعفات مقياس الوحدة الأساسي الخاص بهذا البعد (أي ، خط الوحدة في 1D أو مربع الوحدة في 2D). في الشكل ثلاثي الأبعاد ، على الرغم من التحقق من صحة نظرية فيثاغورس ثلاثية الأبعاد (مرضية للشرط 1) ، فإن المجسم الثماني الذي يحتوي على عدد صحيح جانبي N ليس مضاعفًا للوحدة ثماني السطوح ، حيث تظهر الأشكال الرباعية السطوح في المنتصف (راجع الشكل أدناه على اليمين) [غير مُرضٍ للشرط 2] . لذلك ، لا توجد الأعداد الصحيحة الهندسية في المجال ثلاثي الأبعاد لنظرية فيثاغورس ، ولا توجد في ثلاثياتها. هذا يلبي نظرية فيرما لثلاثة أبعاد.

التعريف الهندسي للأعداد الصحيحة في 1D و 2 D وليس في 3D [مصدر الصورة:]

أبعاد أعلى

يشير الترابط الهندسي بين الأعداد الصحيحة في 1D و 2 D إلى أن جميع الأعداد الصحيحة ذات الأبعاد الأعلى مبنية ، وبالتالي فهي تعتمد على الأعداد الصحيحة ذات الأبعاد السفلية (على سبيل المثال ، المربعات مبنية بخطوط). يشير هذا الترابط المقترن بغياب الأعداد الصحيحة في الأبعاد الثلاثية إلى أنه لا يوجد عدد صحيح أعلى من n> 2 ، وبالتالي لا يوجد أيضًا ثلاثة أضعاف ترضي Xن + صن = Zن لـ n> 2.

خاتمة

الحل الهندسي لأحجية فيرما لا يأتي من فكرة الثلاثيات ، بل من فكرة الأعداد الصحيحة. إذا لم تكن الأعداد الصحيحة موجودة ، فلا يمكن أن تتضاعف ثلاث مرات. للأسف ، فإن مراوغة البرهان المئوية ناتجة عن الاستخدام المتكرر "للأدوات" المتاحة ، بدلاً من ابتكار أدوات جديدة (نظرية فيثاغورس ثلاثية الأبعاد) للعثور على الحل. إن بساطة هذا الدليل الهندسي (الذي تأسس على عدم وجود أعداد صحيحة ضمن مجال نظرية فيثاغورس للأبعاد فوق ثنائية الأبعاد) تجعلنا نتساءل عما إذا كان هذا ليس "الحل الأنيق" الشهير الذي تحدث عنه فيرمات ، والذي لم يترك غيره. يسجل باستثناء ملاحظة مكتوبة تقول:

"لقد اكتشفت دليلًا رائعًا حقًا على هذه النظرية ، وهذا الهامش أصغر من أن يحتويه."

- بيير دي فيرمات (1665)

أما بالنسبة للدكتور لويس تيا ، فسيكون التحدي التالي الذي يواجهه هو شرح المعنى الهندسي للصيغة على الأقسام من عالم الرياضيات سرينيفاسا رامانوجان.

راجع أيضًا: ثورة في نظرية فيثاغورس؟


شاهد الفيديو: 1-1 الدوال - Functions - رياضيات 5 (مارس 2021).